هندسه دیفرانسیل در میپل (قسمت سوم)
قسمت اول
- دوم
فرم بنیادی اول
فرم بنیادی اول در محاسبات رویه‌ها کاربرد مهمی دارد.
در هندسه دیفرانسیل،
فرم بنیادی اول
(به انگلیسی: First Fundamental Form) ضرب داخلی روی فضای مماس یک
رویه در فضای اقلیدسی سه‌بعدی است که به طور کانونی از ضرب داخلی R
3 القا می‌شود. این فرم، امکان محاسبه انحنا و خواص متری یک رویه
چون طول و مساحت را به‌گونه‌ای که با فضای پیرامونی سازگار باشد را
می‌دهد.
تابع X اصلی ما یک دایره با چرخش تتا است که در امتداد t توسعه
یافته؛ یعنی یک رویه استوانه‌ای است. ایکس تتا مشتق تابع اصلی به
نسبت تتا است. Xt مشتق تابع اصلی به نسبت t است. E حاصل‌ضرب داخلی
برداری یا ماتریسی ایکس تتا با خودش و F حاصل‌ضرب داخلی ایکس تتا
در ایکس تی و G حاصل‌ضرب ایکس تی با خودش است. اینک سیستم مختصات
موضعی ما تکمیل می‌شود. E,F,G ضرایب فرم
بنیادی اول اند.
خیلی ساده گفته باشیم ما در اول یک رویه را پارامتری می‌کنیم. این
تابع دو دامنه و یک برد دارد. از برد (خود تابع) به نسبت دامنه‌ها
مشتق می‌گیریم. جمع این دو مشتق را به توان دو کرده در نتیجه برای
راحتی کار در عمل توان دو (مربع سازی)، از E,F.G استفاده می‌کنیم.
E توان دوم (مربع) مشتق اول و G توان دوم (مربع) مشتق دوم است. F
هم ضرب داخلی این دو مشتق است.
به
توابع به‌دست‌آمده دستگاه مختصات موضعی گفته می‌شود.
X(theta,t) یک رویه پارامتری شده است. همچنین یک
نگاشت به نام سیستم مختصات موضعی. هرچه که باشد آن یک تابع برداری
است.
مساحت رویه:
روش جدید با روش سابق همخوانی و برابری دارد.
پارامتر تتا و فی در بازه ۰, ۲π قرار دارند. R شعاع از مرکز تا
محور چنبره است. r شعاع چنبره است.
مجدداً پارامتری‌سازی بر حسب زاویه رادیان، برتری خودش را نشان
می‌دهد. فرم بنیادی اول اجازه و امکان استفاده از این نوع
پارامتری‌سازی را می‌دهد.
خیلی ساده و روشن گفته باشیم، ما برای محاسبه مساحت مستطیل، طول را
در عرض ضرب می‌کنیم. مساحت مربع یک ضلع به توان دو و مثلث ارتفاع
ضرب در قاعده تقسیم بر دو... در هندسه دیفرانسیل با استفاده از
عملیات ریاضی بر روی مشتقات یا فرم‌های بنیادی و دو بار
انتگرال‌گیری است. بعضی از اینها منطق ریاضی دارند و خیلی‌ها تجربی
هستند. منتها بعضی‌ها سعی می‌کنند که برای آنها منطقی بنگارند که
بیشتر شبیه جادو نوشته رمالان و دعانویسان می‌شود و به جز خودشان
هیچ‌کسی از آن سر در نمی‌آورد و شاید هم خیلی چرند و پرت‌وپلا بوده
باشند. به‌هرحال امروزه عملیات ریاضی ماشینی شده و خودتان
می‌توانید روش‌های جدیدی پیدا و ابداع کرده و به دیگران معرفی
کنید. تمامی حالات ممکنه را باید امتحان کنید.
کاملاً واضح است که ما در مورد فرم بنیادی اول با یک اتحاد (مربع
دوجمله‌ای) یعنی یک معادله درجه دوم سه جمله‌ای سروکار داریم. این
معادله را حل کنیم مساحت رویه‌ها به دست می‌آید. در ظاهر ساده به
نظر می‌رسد؛ ولی منطق پیچیده‌ای پشت آن است که شاید هیچ‌کس قادر به
توجیه و توضیح کامل آن نیز نباشد. چون توابع
برداری هستند و نه جبری و باید از ضرب داخلی ماتریس‌ها یا بردارها
استفاده کرد.
نرم یا طول خم چیست؟
رادیکال ضرب داخلی مشتق تابع خم در خودش است.
یعنی هم در محاسبه طول خم و هم مساحت رویه از ضرب داخلی و
انتگرال‌گیری استفاده می‌شود. طول یک‌بار ولی سطح دوبعدی دو بار.
مسلماً برای سطح سه‌بعدی یا حجم باید سه بار انتگرال‌گیری کنیم و
اگر ابعاد ما بیشتر شد به‌دفعات انتگرال‌گیری نیز افزوده می‌شود.
تحلیل کره:
در ابتدا از تابع پارامتری شده کره یک بار به نسبت تتا و بار دیگر
نسبت به فی مشتق می‌گیریم. سپس ضرب خارجی می‌کنیم. اگر به شعاع و
دو زاویه مقداردهی کنیم، مقدار نهایی صفر نمی‌شود. پس شرط اول منظم
بودن را داراست. با استفاده از دترمینان سه ژاکوبین آن را محاسبه و
مقداردهی می‌کنیم. یکی از آنها صفر نیست. پس شرط دوم منظم بودن نیز
برقرار است. نتیجه اینکه کره یک رویه منظم است.
دترمینان
(به فرانسوی: déterminant) یا
آتَرمگر
در جبر خطی به تابعی گفته می‌شود که هر ماتریس مربعی را (به عبارتی
هر ماتریس n × n را) به یک عدد نسبت می‌دهد. دترمینان بیشتر برای
تعیین معکوس ماتریس‌ها استفاده می‌شود؛ به‌طوری که اگر دترمینان
ماتریسی مخالف صفر باشد، آنگاه آن ماتریس معکوس‌پذیر است. ازاین‌رو
از طریق دترمینان می‌توان مقادیر ویژه یک ماتریس یا به عبارت بهتر
یک نگاشت خطی را تعیین کرد. مثال دیگر، این توابع، دترمینان ژاکوبی
است که در روش تغییر متغیر برای انتگرال‌های چندبعدی، مورداستفاده
قرار می‌گیرد. یعنی کره دارای تقارن نیز است.
استوانه یک رویه منظم نیست ولی متقارن است. باتوجه‌به اینکه دترمینان
به‌دست‌آمده برای کره و استوانه غیرصفر است، پس تابع
وارون هم دارند که دال بر منظم بودن کره است.
تعریف نقطه یا نقاط بحرانی:
نقطه بحرانی
می‌تواند به یکی از موارد زیر اشاره کند:
در جبر نقطه
بحرانی، نقطه‌ای در دامنه یک تابع که آن تابع در آن نقطه مشتق‌پذیر
نبوده یا مشتق آن برابر صفر باشد.
در فیزیک نقطه بحرانی (ترمودینامیک)، حالتی که در آن مرز
بین فازها از بین می‌رود.
برسی سهمی گون:
یک
نقطه بحرانی در ۰.۰.۰ دارد.
برسی بیضیگون:
دو
نقطه بحرانی دارد.
برسی چنبره:
دو
نقطه بحرانی دارد. ظاهراً اینها روش‌های جبری هستند. نقاط بحرانی
در چنبره دو خم بالا و پایین است؛ یعنی دو حلقه از قرار زیر:
باید
به دنبال راهکاری در هندسه دیفرانسیل بود تا این دو خم از تابع اصلی
چنبره استخراج شوند و شاید اینکه نقاط بحرانی در هندسه دیفرانسیل
کاربردی نداشته باشند. چون نقاط بحرانی به درد تحلیل اطلاعات و آمار
می‌خورند و یک چنبره فعلاً اطلاعات و آماری در خود ندارد و صرفاً یک
موجود و شی است.
مقادیر بحرانی:
بر
خلاف نقاط بحرانی، مقادیر بحرانی در هندسه دیفرانسیل اولاً مفهوم داشته
ثانیاً اهمیت زیادی دارد. ابتدا از معادله جبری چنبره گرادیان گرفته و
بعد اینکه تبدیل برداری شد میدان برداری آن را رسم و مدنظر می‌گیریم.
رسم
تابع وارون:
یکی
از شرایط دیگر منظم بودن رویه، داشتن تابع وارون است. البته در این
مثال چند شرط قبلی برای منظم بودن برقرار نمی‌باشد.
در حقیقت دیفئومورفیسم یک
تابع یا عملگر تبدیلی یا انتقال برداری است. اگر خلاصه گفته باشیم
عملگری است که یک معادله یا تابع را به یک تابع برداری دیگر تغییر یا تبدیل می‌کند:
یا یک سه بعدی را به دوبعدی تبدیل کند و ...
فرم
بنیادی دوم، انحنای گاوسی و سکته اول انیشتین
تابع
پارامتری شده کره ما تعریف شده است. قبلاً توضیح دادیم که EFG یعنی
فرم‌های بنیادی اول چگونه به دست می‌آیند. این بار تابع n را تعریف
کرده سپس به‌وسیله مشتقات دوم، فرم‌های بنیادی دوم LMN را به دست
می‌آوریم. K انحنای گاوسی، H انحنای متوسط و
K دوم انحناهای اصلی است. مقادیر مثبت و منفی را خودمان
دست‌کاری و مشخص می‌کنیم.
انحنای گاوسی چیست؟ قبلاً تعریف کردیم که انحنا حاصل تقسیم عدد یک بر
شعاع منحنی یا خم است. ولی در رویه‌ها دچار مشکل می‌شویم. یعنی اگر در
روی یک استوانه باشیم، با دو انحنا مواجه می‌شویم. ۱- انحنای طولی در
محور z که صفر است؛ چون ما در یک خط مستقیم و راست هستیم. ۲ - انحنای
عرضی در محور x,y که بزرگ‌تر از صفر است و حاصل تقسیم یک بر شعاع
استوانه است. انحنای گاوسی حاصل‌ضرب این دو انحنای عمود بر یکدیگر است.
یعنی انحنای گاوسی در استوانه می‌شود ۰=۰*۱ . ولی در کره می‌شود یک
تقسیم بر مجذور شعاع کره. اینجا مخ انیشتین تاب بر می‌دارد و اولین
سکته خودش را می‌زند. چرا که نیروی جاذبه جهانی معادله مکانیک نیوتنی
با عکس مجذور فاصله رابطه دارد. یعنی در معادله نیروی گرانش نیوتن
انحنای گاوسی مشهود است.
بعدازاین ما روی مخ و اعصاب انیشتین راه می‌رویم.
چون
در ابتدا او فکر می‌کرد که لابد میدان گرانشی از دو سو و دو جهت عمود
بر یکدیگر، فضای اطراف خود را خم کرده است و مقدار این انحنا، همان
انحنای گاوسی است. ولی با زمان نیز مشکل داشته و درگیر بود و پای زمان
را نیز به وسط کشید. اگر فضا انحنا یافته است، زمان به منزله بعد چهارم
نیز می‌بایست که دچار انحنا شده باشد. ما انحنای
گاوسی در سطح سیاره زمین را با استفاده از شتاب گرانشی و جرم آن پیدا
کردیم، انیشتین نیز باید انحنای فضا - زمان خودش را پیدا کند. همه فکر
می‌کنند که انیشتین از آلمان به امریکا مهاجرت (فرار) کرده است؛ ولی او
به یک رویه (خمینه یا منیفلد Manifold) چهاربعدی مهاجرت کرده است.
چاره‌ای نیست ما هم به دنبال او می‌رویم.
تحلیل چنبره
سطوح
یا رویه‌ها به طور سنتی به‌عنوان نمودارهای توابع یک جفت متغیر (u,v -
بعدی - فاصله‌ای) به وجود می‌آیند و گاهی اوقات به شکل مدرن پارامتریک
(فی، تتا - زاویه‌ای - برداری) یا به‌عنوان مکان‌های جبری مرتبط با
منحنی‌های فضای (x,y,z) ظاهر می‌شوند.
نقش
مهمی در مطالعه آنها توسط گروه‌های هندسه تحلیلی (در روح برنامه
ارلانگن)، یعنی گروه‌های تقارن صفحه اقلیدسی، کره و صفحه هذلولی ایفا
شده است. این گروه‌های تحلیلی را می‌توان برای توصیف سطوح انحنای گاوسی
ثابت استفاده کرد. آنها همچنین یک عنصر اساسی در رویکرد مدرن به هندسه
دیفرانسیل ذاتی از طریق اتصالات فراهم می‌کنند. از سوی دیگر، خواص
بیرونی متکی بر تعبیه یک سطح (u,v) در فضای اقلیدسی نیز به طور گسترده
موردمطالعه قرار گرفته است. این به‌خوبی توسط معادلات غیرخطی اویلر -
لاگرانژ در حساب دیفرانسیل نشان‌داده‌شده است: اگرچه اویلر معادلات یک
متغیرi را برای درک ژئودزیک توسعه داد که مستقل از یک تابع تعریف شده
بود، یکی از کاربردهای اصلی لاگرانژ از این دو معادله دیفرانسیل برای
حداقل سطوح بود. مفهومی که فقط در قالب یک تابع قابل‌تعریف است.
حجم
برخی از رویه‌های چهارگانه توسط ارشمیدس محاسبه شد. توسعه حساب
دیفرانسیل و انتگرال در قرن هفدهم، روش سیستماتیک‌تری برای محاسبه آنها
ارائه کرد. انحنای رویه‌های عمومی برای اولین‌بار توسط اویلر
موردمطالعه قرار گرفت. در سال ۱۷۶۰ او فرمولی را برای انحنای یک رویه
ثابت کرد و در سال ۱۷۷۱ رویه‌هایی را در نظر گرفت که به شکل پارامتریک
نمایش داده شده‌اند. Monge پایه‌های نظریه خود را در خاطرات کلاسیک خود
L'Application de l'Analyse à la géometrie که در سال ۱۷۹۵ منتشر شد،
ثبت کرد. سهم تعیین‌کننده در نظریه رویه‌ها توسط گاوس در دو مقاله
قابل‌توجه که در سال‌های ۱۸۲۵ و ۱۸۲۷ نوشته شده بود، انجام شد. این
نشان‌دهنده انحراف جدیدی از سنت و روال قدیمی بود؛ زیرا برای اولین‌بار
گاوس هندسه ذاتی یک رویه را در نظر گرفت، ویژگی‌هایی که تنها با فواصل
ژئودزیکی بین نقاط روی رویه، مستقل از روش خاصی که رویه در آن قرار
دارد در محیط تعیین می‌شود. فضای اقلیدسی نتیجه علامت‌گذاری، Theorema
Egregium of Gauss، نشان داد که انحنای گاوسی یک متغیر ذاتی است، یعنی
تحت ایزومتریک‌های محلی ثابت است. این دیدگاه توسط ریمان به فضاهایی با
ابعاد بالاتر گسترش یافت و منجر به چیزی شد که امروزه به‌عنوان هندسه
ریمانی شناخته می‌شود. قرن نوزدهم عصر طلایی برای تئوری رویه‌ها بود،
هم از نظر توپولوژیکی و هم از منظر دیفرانسیل - هندسی، با اکثر
هندسه‌دانان برجسته که خود را وقف مطالعه خود کردند.
نتیجه اینکه هندسه دیفرانسیل با ظاهر بسیار پیچیده و غامض خودش فعلاً
نوپاست و جای زیادی برای توسعه دارد.
به
طور شهودی کاملاً روشن است که بگوییم برگ یک گیاه، سطح لیوان یا شکل
صورت به روش‌های خاصی انحنا دارد و همه این اشکال، حتی پس از
نادیده‌گرفتن علائم متمایز، هندسه خاصی دارند. ویژگی‌هایی که یکی را از
دیگری متمایز می‌کند. هندسه دیفرانسیل موضعی به درک ریاضی چنین
پدیده‌هایی مربوط می‌شود. مطالعه این رشته که به شکل مدرن آن در دهه
۱۷۰۰ آغاز شد، منجر به توسعه هندسه با ابعاد بالاتر و انتزاعی مانند
هندسه ریمانی و نسبیت عام شده است. شیء اساسی ریاضی، رویه منظم است.
اگرچه قراردادها در تعریف دقیق خود متفاوت هستند، اینها یک رتبه کلی از
زیرمجموعه‌های فضای اقلیدسی سه‌بعدی (ℝ3) را تشکیل می‌دهند که بخشی از
مفهوم آشنای "رویه" را به تصویر می‌کشد. با تجزیه‌وتحلیل رتبه
منحنی‌هایی که روی چنین سطحی قرار دارند، و درجه‌ای که رویه آنها را
مجبور به انحنا در ℝ3 می‌کند، می‌توان به هر نقطه از رویه، دو عدد که
انحنای اصلی نامیده می‌شود، مرتبط کرد. میانگین آنها را انحنای متوسط
رویه و حاصل‌ضرب آنها را انحنای گاوسی می‌نامند.
نمونه‌های کلاسیک بسیاری از رویه‌های معمولی
وجود دارد، از جمله:
نمونه‌های آشنا
مانند صفحات، استوانه‌ها و کره‌ها
رویه‌های سطح پایین که با این خاصیت تعریف
می‌شوند که میانگین انحنای آنها در هر نقطه صفر است. شناخته‌شده‌ترین
نمونه‌ها کاتنوئیدها و هلیکوئیدها هستند، اگرچه تعداد بیشتری از آنها
کشف شده است. رویه‌های سطح پایین را می‌توان با ویژگی‌های مربوط به
مساحت رویه نیز تعریف کرد، در نتیجه آنها یک مدل ریاضی برای شکل
لایه‌های لغزنده، زمانی که در یک مختصات کشیده می‌شوند، ارائه می‌کنند.
رویه‌های
قاعده دار که رویه‌هایی هستند که حداقل یک خط مستقیم از هر نقطه دارند.
به‌عنوان‌مثال می‌توان به استوانه و هیپربولوئید تک‌لایه اشاره کرد.
یک
نتیجه‌گیری شگفت‌انگیز کارل فردریش گاوس، معروف به نظریه‌ای گریژیوم،
نشان داد که انحنای گاوسی یک رویه که طبق تعریف آن مربوط به تغییر جهت
منحنی‌های رویه در فضای سه‌بعدی است، در واقع می‌تواند با طول‌ها
اندازه‌گیری شود. منحنی‌هایی که روی رویه قرار می‌گیرند همراه با
زوایایی که هنگام تلاقی دو منحنی روی رویه ایجاد می‌شود. از نظر
اصطلاحی، این نتیجه‌گیری می‌گوید که انحنای گاوسی را می‌توان از اولین
شکل اساسی رویه (که تانسور متریک نیز نامیده می‌شود) محاسبه کرد. در
مقابل، دومین شکل اساسی، شیء است که نحوه تغییر طول‌ها و زوایای
منحنی‌ها روی سطح را در هنگام بیرون‌راندن منحنی‌ها از رویه، کدگذاری
می‌کند.
قضیه برجسته گاوس
بردار داربو:
همان‌طور که قبلاً گفتیم خط و صفحه مماس در هندسه دیفرانسیل هیچ مفهومی
ندارد. بلکه ما با منحنی یا خم مماس بر خود خم سروکار داریم. هر تلاشی
برای رسم خط یا صفحه مماس، شکست می‌خورد. در هندسه دیفرانسیل صفحات نیز
خم یا رویه محسوب می‌شوند. یعنی صفحه تخت نیز مفهومی ندارد. راحت‌ترین
راه عملی برای پیداکردن و رسم خم مماس بر خود خم، قراردادن صفر یا یک
عدد بجای c و ضریب آن من‌جمله p است.
خم
کروی (روی سطح کره) و خم مماس آن و همچنین مشتق اولش:
قسمت چهارم
محمدرضا طباطبايی ۱۴۰۳/۰۴/۰۸
http://www.ki2100.com
