Home   |  تماس با ما و ارسال مطالب | نرم‌افزارهاي مورد نياز |

 

 

20-06-2024

 

هندسه دیفرانسیل در میپل - تدلیس دوم انیشتین

 

اولین گام در هندسه دیفرانسیل پارامترسازی (پارامتری سازی) است.

پارامترسازی خم یعنی تبدیل‌کردن معادله یا تابع جبری یک منحنی به یک یا چند تابع برداری که دامنه تابع، زاویه دوران منحنی یا بردار است که یک عدد حقیقی می‌باشد. این تابع، خم پارامتری شده یا curved نامیده می‌شود. برای مثال بر روی یک دایره کار می‌کنیم:

 

 

a شعاع دایره یا خم و p زاویه دوران منحنی یا حرکت روی خم به نسبت مرکز مختصات و محور x است؛ یعنی همان پوزیشن یا موقعیت نقطه فرضی روی خم. R ماتریس برداری خم پارامتری شده است.

 

تابع خم یا بردار مماس:

 

اگر از تابع خم R مشتق بگیریم، تابع خم یا بردار مماس بر خم R به دست می‌آید که خودش خم و منطبق بر خم R است. در هندسه سابق ما از خط مماس انتظار یک خط راست را داریم؛ ولی در هندسه دیفرانسیل خط مماس خودش منحنی یا یک خم است. طبق تعریف سنتی تابع، یک دامنه نمی‌تواند دو برد داشته باشد؛ ولی تعریف تابع در هندسه دیفرانسیل دگرگون می‌شود و تابع مجاز است که با یک دامنه، دو برد داشته باشد.

 

اینک تابع خم یک مارپیچ روی یک استوانه فرضی را به دست آورده و تابع خط مماس روی خم یا مارپیچ را به دست می آوردیم.

 

اینجا مشتق  تابع خم بر آن منطبق نیست؛ بلکه خودش یک خم دایره‌ای است.

 

معادله خط مماس بر خم:

 

 

معادله این خط فرضی طبق اصول و قواعد قبلی، روی صفحه xy بوده و اصلاً رضایت‌بخش نیست.

 

 

بهتر است به‌جای استفاده از عبارت معادله خط مماس بر خم، از عبارت خم یا بردار مماس بر خم استفاده کرد که خودش یک خم است.

این مشکل ما در کجاست؟
در جبر ما یک یا چند معادله برای خط یا منحنی داریم که محورها یا ابعاد، تابعی از یکدیگر هستند؛ لذا مشتق ما به طور مثال نسبت تغییرات محور y به x است (تانژانت) ازاین‌رو با این روش می‌توان تابع یا معادله خط مماس را به دست آورد. ولی در هندسه دیفرانسیل ما برای هر بعد یا محور تابعی به دست آوردیم که دامنه تابع زاویه یا طول کمان است. یعنی ابعاد یا محورها دیگر تابعی از یکدیگر نیستند؛ بلکه تابعی از زاویه یا طول کمان هستند. مشتقات ما تغییرات بعد یا محورها به نسبت تغییرات زاویه یا طول خم است؛ لذا اصول قبلی در جبر پاسخگو نیست و خطا می‌کنند؛ یعنی نباید باورها و عادت‌های جبری قبلی خود را در هندسه دیفرانسیل لحاظ کنیم. چون تعریف مشتق متفاوت شده است.

 

طول خم یا کمان

 

به‌جای طول کمان باید از طول خم استفاده کرد. خم جایگزین منحنی و کمان می‌شود. قبل از ادامه مبحث، این حقیقت بدیهی برای ما روشن و مشخص می‌شود که هندسه دیفرانسیل یک بحث و تحلیل ریاضی در میدان برداری و اختصاصاً در مورد بردارهاست و همان‌طور که می‌دانیم در فیزیک، بردار مفهوم نیرو را دارد. ولی انیشتین در نسبیت عام به نیروی گرانش باوری نداشت و سعی کرد انحنای فضا - زمان را جایگزین آن کند که متأسفانه خودش از مفهوم بردار و میدان برداری یا نیرو - میدان نیرو استفاده کرده است. در بهترین حالت، این جهت یا امتداد نیرو یا بردار است که خم یا انحنا پیدا می‌کند و نه چیزی به نام فضا - زمان. چون انیشتین به خود فضا - زمان مفهوم و ماهیت برداری؛ یعنی نیرو داده است.

تدلیس اول انیشتین استفاده از انرژی (نیرو ضرب در مسافت) به‌جای خود نیرو بود که نتوانست آن را حذف کند (متریک تولمن). تدلیس دومش استفاده از بردار یا نیرو به‌جای چیزی به نام فضا - زمان بود. یعنی فضا - زمان می‌توانند مثل خود نیرو رفتار کنند.

در معادلات و توابع جبری، x,y,z توابعی از یکدیگر هستند؛ ولی توابع مثلثاتی، توابعی از زاویه p هستند. اکثر توابع در هندسه دیفرانسیل نیز توابعی از زاویه p هستند.

 

 

 

دستگاه مختصات فرنه سره

طبق تعریف و باور سنتی این دستگاه مختصات، ساکن و ثابت نبوده و روی خم حرکت می‌کند (تابعی از p یا زاویه است). یعنی در هندسه دیفرانسیل هر نقطه و مکان از سطح خم، خودش دستگاه مختصات دارد.

 

بردار یکه مماس T:

 

 

یعنی تابع تعریف شده T به‌ازای بیشینه مقادیر مثبت غیر صفر برای a مقدار ثابتی است. همانند بردارهای یکه i,j,k عمل می‌کند.

 

بردار یکه قائم اصلی Normal (N)

 

بردار یکه قائم دوم Binormal (B)

 

باتوجه‌به اینکه طول بردارهای TNB همگی واحد یک است، در یکه بودن آنها شکی نیست؛ ولی اینکه اینها بر یکدیگر قائم هستند یا به چیز دیگری قائم می‌شوند، در آینده برسی انجام خواهد شد.

 

انتظار طبیعی (عادت فکری سابق) ما از دستگاه مختصات کارتزین (دکارتی) چند محور عمود بر یکدیگر است. محورها نیز خط‌های صاف و مستقیمی باشند. ولی در هندسه دیفرانسیل محورها خودشان خم و با یکدیگر موازی هستند و نه عمود. پس به‌راحتی می‌توان به تعداد این محورها افزود. ازاین‌رو هندسه دیفرانسیل برای انیشتین جذاب شد؛ چون می‌توانست زمان را به‌عنوان یک محور یا بعد جدید وارد کند.

در جبر محورهای دستگاه مختصات خودشان معادله یا تابع دارند به طور مثال x=0 یا y=0 ها و در هندسه دیفرانسیل نیز دستگاه توابع TNB را داریم. البته با این تفاوت که در جبر ما یک دستگاه مختصات انحصاری مرجع داریم که موقعیت نقاط نسبت به مختصات ۰.۰ سنجیده می‌شود؛ ولی در هندسه دیفرانسیل هر نقطه و مکان روی خم برای خودش دستگاه مختصات ویژه‌ای دارد. ازاین‌رو هندسه دیفرانسیل برای نسبیت عام خیلی جذاب شد. چون در نسبیت هم دستگاه مختصات انحصاری و مرجعی نداریم؛ بلکه دستگاه‌ها نسبت به یکدیگر مقایسه می‌شوند.

انحنای خم:

 

 

 

K یا انحنا حاصل تقسیم عدد یک بر شعاع خم است. اگر a یک باشد انحنا یک و اگر دو باشد انحنا ۰.۵ است. اگر مقدار b صفر باشد، خم مارپیچ یک خم دایره است و تابع انحنا در برچسب ۳ ارائه شده است که همان نتایج را دارد. اگر b یک باشد انحنای خم مارپیچ ۰.۵ می‌شود. در برچسب ۷ و ۹ تابع معروف انحنای خم مارپیچ ارائه شده است که همان نتایج را دارد.

 

تاب خم:

 

انحنا (Curvature)، تاب (Torsion) و شعاع خم (RadiusOfCurvature) با سه دستور ساده میپل به دست می‌آیند.

 

 

طبق تعاریف سنتی، انحنا پیچش بردار B و تاب پیچش بردار T است.

 

 

تا اینجا پارامترسازی و طرح توابع با دامنه زاویه p بود. اینک طول بردار خم (محیط خم) s را جایگزین آن می‌کنیم. یعنی دامنه توابع s می‌شود.

 

 

 

صفحه بوسان: تولید شده توسط بردارهای T و N است. Osculating plane
صفحه قائم: تولید شده توسط بردارهای B و N است . Normal plane
صفحه راست‌گرد: تولید شده توسط بردارهای B و T است. Rectifying plane

 

 

البته همان‌طور که گفتیم TNB، هر سه بردار خم هستند و نه یک دستگاه مختصات کارتزین و این صفحات هم به‌نوعی رویه یا سطح خمیده هستند و نه تخت و مسطح. اینها ابزارهای ریاضی و دیفرانسیل هستند برای برسی و تحلیل یا اندازه‌گیری محیط یا مساحت رویه و سطح خم‌ها. حتی اندازه انحنا و تاب یا شعاع و...

به طور مثال اگر تاب خم برابر صفر باشد، خم مسطح و روی صفحه فرضی بوسان است. یعنی خود صفحه بوسان تخت است.

 

 

هندسه دیفرانسیل منطق و اصول بسیار ساده‌ای دارد؛ ولی ظاهر آن بسیار پیچیده و غامض شده است. به طور مثال اگر شعاع خم افزایش یابد، نسبت تغییرات محیط یا طول خم به زاویه بر حسب رادیان، افزایش پیدا می‌کند. در نتیجه انحنای خم کاهش پیدا می‌کند. تنها با مشتق‌گیری این حقیقت درک می‌شود. یا به طور مثال:

 

 

با افزایش ارتفاع خم، بر طول خم افزوده شده و تاب آن نیز زیاد می‌شود. پس بیشتر از هر چیز، ما با تابع مشتق و انتگرال سروکار داریم؛ چون به دنبال شناخت تغییرات هستیم. ازاین‌رو هندسه دیفرانسیل برای انیشتین خیلی جذاب شد؛ چون اولاً دو مؤلفه انحنا و تاب داریم که می‌توانست شامل ابعاد فضا - زمان کند و از طرفی ما در سرعت بالا و میدان گرانشی، با کندشدن زمان و کوتاه‌شدن متر (طول خم) مواجه می‌شویم که بر مقدار انحنا می‌افزاید. گویا سرعت هم باعث افزایش تاب می‌شود. ازاین‌رو انیشتین با خود چنین تصور کرد که ریاضی‌دانان و فیزیک‌دانان قبل از او همه چیز و تمامی شرایط را برای او فراهم و مهیا نموده‌اند. اگر می‌توانست مدل‌سازی و فرمول‌بندی خوبی داشته باشد، اولاً می‌توانست پدیده گرانش را توجیه کند و هم اینکه ساختار خود فضا - زمان و کل کیهان را توجیه کند. غافل از اینکه چیزی به نام فضا - زمان وجود ندارد و در حال ورود به تله و دام و دردسر بسیار بزرگ و جدی شده است.

قبل از ادامه بحث نیاز به یک هشدار جدی داریم و آن اینکه طبق عادت‌های قبلی در جبر، شخصاً و خودمان خواستیم برای خم مارپیچ، خط مماس بکشیم که نشد و شکست هم خوردیم. به‌جای یک خط راست به یک اسپیرال رسیدیم. این اتفاق درس عبرتی برای ما می‌شود که محاسبات ریاضی را به ماشین بسپاریم. چون اولاً سریع است ثانیاً توانمند و ثالثاً دچار خطا نمی‌شود. اگر خطایی بود مربوط به کدنویسی و دستورات خود ما می‌شود و نه خود ماشین.

 

حلقه‌های سحرآمیز و فریبنده TNB:

 

تابع بردار خم T یا ارباب حلقه‌ها:

بردار یکه در جبر یا حساب برداری چیست؟

 

همان i,j,k است به طول واحد یک. مثلاً یک متر یا یک فوت و... اینها دو به دو بر یکدیگر عمود هستند.

اما بردار یکه T در هندسه دیفرانسیل. این بار روی بیضی کار می‌کنیم.

 

 

قبلاً گفتیم گام اول پارامتری‌سازی. یعنی تفکیک معادله جبری بیضی به دو تابع با دامنه متغیر P یا همان زاویه بر حسب رادیان. چون توابع مثلثاتی هستند.

تابع بردار را به‌صورت خم بیضی مارپیچ در یک سه‌بعدی نگاشتیم که اگر z صفر باشد بردار، خم بیضی مسطح می‌شود. یعنی مارپیچ بیضی با ارتفاع صفر یا خم بیضی دوبعدی.

 

 

تابع بردار یا خم T را به دست می‌آوریم. به a , b , c مقداردهی می‌کنیم. هر دو تابع T , R را رسم کرده و با یکدیگر مقایسه می‌کنیم.

اندازه‌ها را دوبرابر کرده و با انتگرال‌گیری، محیط یا طول خم‌ها را محاسبه می‌کنیم. نتیجه‌گیری کلی اینکه شعاع و طول خم T همواره مقدار ثابت دو پی است؛ یعنی یک دایره، حلقه یا خم بسته با شعاع واحد یک. ازاین‌رو به آن بردار یکه می‌گویند؛ چون واحد یا سنجه و محک اندازه‌گیری طول و شعاع تمامی خم‌هاست. T بردار و خم یکه است؛ ولی نه با تعاریف جبری، بلکه با تعاریف مثلثاتی، محیط یک دایره کامل با شعاع واحد یک است. متأسفانه تمامی ریاضی خوانده‌ها از اول تاریخ بشریت با نگاه و عادت جبری و هندسی وارد مسئله شده و فکر و تصور می‌کنند که T همانند i,j,k یک پاره‌خط عمود یا حتی یک خط مستقیم و راست مماس بر خم است. اما هرگز موفق به یافتن تابع یا معادله این‌چنین خطی نمی‌شوند؛ چون وجود خارجی ندارد و تنها در ذهن آن‌ها نقش بسته است و مسلماً به دنبال نخودسیاه هستند. چرا؟

فعلاً این‌گونه تصور کنید که انحنای خط راست صفر است؛ ولی انحنای نقطه بی‌نهایت است. پس نقطه و خط راست در هندسه دیفرانسیل وجود ندارند؛ چون اولاً تعریف نشده‌اند ثانیاً قابل‌درک و شناخت و تجزیه‌وتحلیل و شناسایی نیستند. نقطه و خط راست در هندسه دیفرانسیل موجودات ناشناخته‌ای هستند؛ چون مشتق‌گیری روی آنها بی‌فایده است و به جایی و نتیجه مطلوبی هم نمی‌رسد؛ چون که تغییرات محسوسی ندارند یا تغییرات بی‌نهایت شده است؛ یعنی غیرقابل‌دسترسی هستند. بعداً توضیح می‌دهیم که چرا به این یکه، مماس هم می‌گویند که نیست.

خود فرنه سره باورداشت که چنین دستگاه مختصاتی واقعاً وجود دارد که ما نشان داده و ثابت می‌کنیم که نیست. هرکسی می‌تواند نشان دهد و ثابت کند بسم‌الله. ریاضی خوانده‌ای به نام انیشتین سعی کرد که یک بعد زمانی دیگر به آن بیفزاید. به‌هرحال انیشتین به خیال خودش یک بعد زمانی به هندسه دیفرانسیل افزود. یعنی سعی کرد که تعداد این حلقه‌ها را چهارتا کند.

به‌راستی چرا انسان‌ها عادت‌های فکری و رفتاری خودشان را به هرجا و هر محیطی می‌برند؟ چون‌که ترک عادت موجب مرض و بیماری روحی و روانی است. ترک عادت‌های فکری و رفتاری خیلی سخت و دشوار است. امروزه این خطاها و اشتباهات در دانشگاه‌های دنیا در رشته دکتری و فوق دکتری تدریس و خوانده می‌شود. هیچ‌چیزی به نام کنج فرنه سره اصلاً وجود ندارد؛ بلکه ذهنیت انسانی به آن موجودیت کاذبی می‌دهد.

 

 

مشتق اول یا بردار خم مماس:

کاربرد مشتق در جبر، پیداکردن معادله خط مماس و بیشینه و کمینه منحنی است. ولی در هندسه دیفرانسیل چیزی به نام خط راست و مستقیم مماس وجود ندارد؛ بلکه مشتق اول هم مشتق است و هم خود منحنی مماس. اگر خم دوبعدی باشد، مشتق و خم مماس بر روی آن منطبق است؛ ولی اگر خم سه‌بعدی باشد، مشتق یا خم مماس بر روی تصویر آن خم در روی محور x,y منطبق می‌شود. راحتی و برتری هندسه دیفرانسیل همین ویژگی است؛ چون تابع مشتق اول، خود تابع بردار خم مماس بر کل خم است.

 

 

پیداکردن یا مشاهده خم مماس بر خود خم در هندسه دیفرانسیل خیلی راحت‌تر از جبر است. تنها کافی است که ارتفاع موردنظر یعنی z را مقداردهی کنیم.

 

 

 

ارباب حلقه‌ها (T) چیست و کجاست؟

 

 

نورم همان وتر دو مثلث قائم‌الزاویه یعنی طول برداری خم است. یعنی فاصله محیط خم با مرکز خم همان مختصات 0.0.0.

ارباب حلقه‌ها یعنی همان T نسبت مشتق اول تابع خم به طول بردار خم است که همیشه یک مقدار ثابت یک است. به این خاطر به آن بردار یکه می‌گویند ولی مماس نیست. مماس خود مشتق اول است.

طول این بردار در تمامی زوایای مثلثاتی برابر یک است.

با رسم و مقایسه تابع خم، تابع مشتق و تابع T متوجه می‌شویم که ارباب حلقه‌ها موج برداشته است آن هم به نسبت تغییر شعاع بیضی که بعداً برای تعیین مقدار انحنا و تاب خم کاربرد پیدا می‌کند.

یعنی تابع T در شعاع خود تغییراتی ندارد؛ ولی تغییرات آن در طول یا a,b,c است.

طول برداری خم‌ها مخصوصاً T از مرکز مختصات ۰.۰.۰ است و ارباب حلقه‌ها تغییر شکل هم می‌دهد.

 

 

اینک این بردارها را رسم می‌کنیم. رسم بردار با مقداردهی انجام می‌شود.

 

اینک مفهوم برداری T برای ما کاملاً مشخص و معلوم می‌شود. تابع بیضی پارامتری شده دو معنی و مفهوم کلی دارد.

۱- تابع پارامتری شده خود خم در مختصات دکارتی که یک منحنی باز یا بسته است Position Vector
2- تابع برداری خم در مختصات دکارتی که یک بردار از مرکز مختصات به محیط خم است  Vector

در نتیجه سایر توابع همانند T نیز این‌چنین هستند با این تفاوت که محورهای مختصات دکارتی همیشه ثابت و دوبه‌دو ۹۰ درجه فرض می‌شوند؛ ولی توابع برداری در هندسه دیفرانسیل ثابت نبوده و متغیر هستند و می‌توانند تابعی از خود خم یا زاویه یا طول خم بوده باشند. تعریف بردار یکه یا مماس و... در جبر و هندسه دیفرانسیل تفاوت اساسی و مشهود و بسیار فاحشی دارد.

 

حلقه (N) چیست و کجاست؟

 

حلقه N نسبت مشتق تابع T به طول بردار T است که همیشه یک مقدار ثابت یک است. به این خاطر به آن بردار یکه می‌گویند.

طول این بردار در تمامی زوایای مثلثاتی برابر یک است.

با رسم و مقایسه تابع خم و تابع N متوجه می‌شویم که این حلقه هم موج برداشته است، آن هم به نسبت تغییر شعاع بیضی که بعداً برای تعیین مقدار انحنا و تاب خم کاربرد پیدا می‌کند.

یعنی تابع N در شعاع خود تغییراتی ندارد؛ ولی تغییرات آن در طول یا a,b,c است.

طول برداری خم‌ها مخصوصاً N از مرکز مختصات ۰.۰.۰ است و این حلقه تغییر شکل هم می‌دهد.

 

 

اینک این بردارها را رسم می‌کنیم. رسم بردار با مقداردهی انجام می‌شود.

 

 

نتیجه می‌گیریم که بردار یکه N روی یک صفحه بوده و با تغییر زاویه p به مرکزیت نقطه ۰.۰.۰ روس سطح آن می‌چرخد.

 

حلقه (B) چیست و کجاست؟

 

حلقه B حاصل ضرب تابع T در N است که همیشه یک مقدار ثابت یک است. به این خاطر به آن بردار یکه می‌گویند.

طول این بردار در تمامی زوایای مثلثاتی برابر یک است.

با رسم و مقایسه تابع خم و تابع B متوجه می‌شویم که این حلقه هم موج برداشته است، آن هم به نسبت تغییر شعاع بیضی که بعداً برای تعیین مقدار انحنا و تاب خم کاربرد پیدا می‌کند.

یعنی تابع B در شعاع خود تغییراتی ندارد؛ ولی تغییرات آن در طول یا a,b,c است.

طول برداری خم‌ها مخصوصاً B از مرکز مختصات ۰.۰.۰ است و این حلقه تغییر شکل هم می‌دهد.

 

ادامه دارد

 

 

محمدرضا طباطبايي    ۱۴۰۳/۰۳/۲۱

http://www.ki2100.com