06-07-2024

 

هندسه دیفرانسیل در میپل (قسمت دوم)

قسمت اول - سوم

 

 

تا اینجا با مقادیر مثبت برای زاویه یا p کار کردیم، اینک مقادیر منفی را نیز لحاظ و برسی می‌کنیم.

 

 

نتیجه‌گیری نهایی و کلی این است که ما در هندسه دیفرانسیل یک دستگاه مختصات ساکن و ثابتی داریم که همان مختصات دکارتی x,y,z است. TNB سه ویژگی جهت‌دار یک خم هستند و نه یک دستگاه مختصات فرعی. چون بر یکدیگر دوبه‌دو عمود شده‌اند، طبق باورهای قدیمی و سنتی خود، تصور می‌کنیم که دستگاه مختصات هستند. ما در یک دستگاه مختصات، هر کجای منحنی که بوده باشیم، تغییری در دستگاه ایجاد نمی‌شود؛ ولی در هندسه دیفرانسیل با حرکت بر روی خم، جهت این سه ویژگی تغییر می‌کند. این تغییرات ممکن است شامل هر سه بوده باشد و یا فقط بر بعضی از آنها بوده باشد. اینها محک، سنجه و تحلیل‌گر یک خم هستند نه دستگاه مختصات. دستگاه مختصات موقعیت نقاط را مشخص و معلوم می‌کند؛ ولی این سه بردار یا تابع، ویژگی‌های خم به نسبت زاویه یا طول خم را نشان می‌دهند.

 

 

چنین معلوم می‌شود که در این خم، TNB در فضای z+ است. در ابتدا فقط اعداد مثبت وجود داشتند و دستگاه‌های مختصات فقط طول جبری مثبت داشتند؛ ولی دکارت با واردکردن اعداد و طول منفی به دستگاه‌های خودش، دستگاه دوبعدی را چهار برابر و دستگاه سه‌بعدی را ۸ برابر توسعه و بسط داد. باتوجه‌به قاعده اندازه‌گیری طول بردار یعنی نورم می‌توان نتیجه گرفت که طول بردارها همیشه مثبت است و آنها در یک فضای قدرمطلقی و همیشه در بعد مثبت هستند منتها ممکن است فقط جهتشان منفی شده باشد. TNB صرفاً سه بردار یکه هستند و نه محورهای یک دستگاه مختصات مشابه دکارتی و این دستگاه در یک فضا و محیط قدرمطلقی مطرح می‌شود. یعنی چیزی شبیه یک‌چهارم مختصات است و نه تمام مختصات چون با مختصات اصلاً سروکاری ندارد.

 

بعدازاین هندسه دیفرانسیل سه‌شاخه می‌شود.

۱- هندسه دیفرانسیل محض. در این قسمت ما به دنبال دلایل و چرایی‌ها و منطق ریاضی آن هستیم.
۲- هندسه دیفرانسیل کاربردی در فیزیک و علوم مهندسی. یعنی چگونه می‌توان از آن به‌عنوان جعبه‌ابزار استفاده کرد.
۳- هندسه دیفرانسیل در توسعه علوم بنیادی. یعنی استفاده از آن به‌عنوان یک ابزار کارآمد جهت توجیه پدیده‌های فیزیکی.

بخش دوم در فناوری مورداستفاده قرار می‌گیرد که نرم‌افزار متلب و... آن را پشتیبانی می‌کند.
بخش اول و سوم توسط نرم‌افزار میپل پشتیبانی می‌شود. اما بخش اول و سوم می‌تواند باعث توسعه خود هندسه دیفرانسیل در ریاضیات و پیشرفت علوم بنیادی در فیزیک شود. چون نیازهای فیزیکی ما باعث توسعه آن می‌شود و برعکس توسعه آن باعث برطرف‌شدن نیازهای ما در فیزیک می‌شود.

 

تعریف تابع انحنا:

 

بعد از اینکه تابع اصلی خم را تعریف کردیم به دو روش تابع انحنا با دامنه a,b,c,p را تعریف می‌کنیم که نتیجه برابری دارند. روش اول توسط خودمان و روش دوم پیشنهادی توسط خود میپل است. اینک با واردکردن چهار مقدار دامنه، خم را به دست می‌آوریم یعنی برد تابع مقدار عددی خم در زاویه است.

 

تعریف تابع تاب و شعاع:

 

طبق تعریف، دایره فرضی که با خم در نقطه p دارای تماس از بالاترین مرتبه ممکن باشد، دایره بوسان در نقطه p یا دایره انحنای خم در p نامیده می‌شود. مرکز این دایره، مرکز انحنای منحنی در p نام دارد و شعاع آن، شعاع انحنای منحنی در p نامیده می‌شود.

 

اینک این سؤال مطرح می‌شود که از کجا بدانیم توابع ماشینی درست کار می‌کنند؟

خوب خودمان توابع را نوشته و با آنها مقایسه می‌کنیم، اگر جواب‌ها یکی بود، از صحت توابع مطمئن می‌شویم. این یعنی ما هم می‌توانیم از صحت توابع خودمان مطمئن شویم. اگر نتایج آن با توابع ماشینی یکسان بود، توابع ما هم درست هستند. ماشین می‌تواند باعث توسعه ریاضیات ما شود و برعکس. یعنی ما هم می‌توانیم توابع ماشینی را توسعه دهیم. برسی یک هم ارزی:

 

 

برسی فرمول‌های فرنه و سره

 

 

تا اینجا متوجه چند تا سوتی و نسخه‌نویسی غلط دانشگاهی شدیم.

۱- طبق تعاریف جبری، مشتق اول خم، یک خط راست یا بردار مماس بر خم ما نیست. بلکه تابع خم مشتق اول بر تابع خم اصلی ما مماس می‌شود. البته بدون نیاز به هیچ‌گونه عملیات ریاضی. اگر مشتق اول را بردار فرض کنیم با T مماس می‌شود و اگر آن را خم حساب کنیم، بر خم اصلی ما مماس می‌شود و ارتفاع آن با مقداردهی به z قابل‌تغییر است. اگر طبق اصول جبری اقدام به مشتق‌گیری و پیداکردن خط مماس کنیم، به یک اسپیرال می‌رسیم و نه یک خط راست و مستقیم.

 

کتاب هندسه دیفرانسیل نوشته آبراهام گوئتس ترجمه علی‌اکبر عالم‌زاده و علی استاد باشی‌زاده.

 

 

یک نقطه بالای x به معنی مشتق اول است. این هم رسم هر دو خم اصلی و خط مماس در u. چیزی به‌عنوان خط راست که از روی محیط خم گذر کند مشاهده نمی‌شود.

 

 

۲- برای پارامتری‌سازی بر حسب طول کمان s ، ابتدا باید وارون تابع s را به نسبت p حساب کرده و سپس با خود تابع s ترکیب کرد که از نرم‌افزار متلب استفاده می‌کنیم.

 

 

در ابتدا سه متغیر t a b را تعریف می‌کنیم. بعداً تابع S را تعریف کرده و سپس وارون آن را به دست می‌آوریم. در نهایت این تابع وارون را با خود تابع ترکیب می‌کنیم که حاصل یک تابع خنثی می‌شود. یعنی برد همان دامنه است. ولی راه‌حل درست چیست؟

 

 

یعنی ما یک معادله یا برابری مابین زاویه p و طول s داریم. این معادله را می‌بایست به نسبت p حل کنیم و نتیجه را جایگزین خود p کنیم.

 

۳- چیزی به اسم دستگاه مختصات فرنه و سره روی محیط خم وجود ندارد. اینها سه بردار یکه عمود بر هم و به مرکزیت دستگاه مختصات اصلی 0x,0y,0z بوده و سه ویژگی یک خم نسبت به تغییرات زاویه را نشان می‌دهند.

 

کتاب هندسه دیفرانسیل نوشته آبراهام گوئتس ترجمه علی‌اکبر عالم‌زاده و علی استاد باشی‌زاده.

 

۴- فرمول ارائه شده توسط خود فرنه و سره نیاز به اصلاح دارد.

 

 

فرمول یک به دو اصلاح می‌شود و می‌تواند باعث بسط و توسعه نظری فرمول‌های قبلی شود.

 

۵- انحنا را این‌گونه تعریف می‌کنند که تابع انحنای خم، سرعت تغییرات زاویه‌ای که خط مماس در نقطه s با سایر خطوط مماس مجاور می‌سازد را اندازه می‌گیرد که این تعریف جبری انحنای منحنی است. در هندسه دیفرانسیل تعریف انحنای خم از قرار زیر است:

 

 

اگر دقت کرده باشید ما تابع خم را نسبت به طول کمان پارامتری کردیم؛ یعنی دامنه تابع از زاویه به طول خم تغییر پیدا کرده است. یعنی مسافت یا طول خم از نقطه a به b در روی خم R2 بیشتر از خم R1 است. نرم مشتق دوم تابع هم طول یک بردار فرضی است. طول بردار فرضی کوتاه‌تر شود، انحنا بیشتر است و برعکس اگر طول بردار فرضی بلندتر شود، انحنای خم کمتر است. تابع انحنای خم این تغییرات طولی مسیر و کمان و تغییرات طول بردار فرضی را تبدیل به یک عدد می‌کند. یعنی نسبت تغییرات تابع به تغییرات طول کمان یا خم. چیزی به نام خط یا بردار مماس اصلاً مطرح نیست؛ بلکه نرم نسبت دوم تغییرات مدنظر شده است.

 

 

اگر دقت کنیم مشتق دوم؛ یعنی نسبت تغییرات تابع، درست وارون یا معکوس خود تابع شده است. انحنا نیز معکوس یا عکس شعاع خم است؛ یعنی یک تقسیم بر شعاع یا نرم تابع یا طول برداری خم.

در مبحث جبر یا حساب دیفرانسیل تابع، معادله یا منحنی و خط حاوی یک سری اطلاعات است؛ مثلاً منحنی سرعت یا شتاب و ما آن اطلاعات را تحلیل و برسی می‌کنیم. ولی در مقوله هندسه دیفرانسیل ما با یک خم یا یک موجود هندسی و فیزیکی سروکار داریم و سعی ما تحلیل یک شی و ماهیت فیزیکی است و نه اطلاعات و داده نموداری. ازاین‌رو نسبیت عام به هندسه دیفرانسیل علاقه‌مند شد؛ چون باورداشت که چیزی به نام فضا - زمان وجود دارد و سعی کرد آن را مدل‌سازی، فرمول‌بندی و تحلیل کند که موفق هم نشد.

 

 

تا الان قطر بزرگ بیضی‌های ما عمودی بودند، بعدازاین افقی رسم می‌شوند. خم قرمزرنگ همان تابع انحنا در یک بیضی است. طول بردار خم در زاویه ۰ و پی بیشینه است عدد 2؛ چون بیضی انحنای بیشتری دارد و در زاویه پی دوم و سه پی دوم طول بردار خم، کمینه و انحنا کمتر می‌شود عدد 0.25 اصولاً اینک این سؤال مهم مطرح می‌شود که هندسه دیفرانسیل واقعاً چیست؟

 

کتاب هندسه دیفرانسیل نوشته آبراهام گوئتس

 

 

تابع ارائه شده برای محاسبه تاب غلط است. از زیر دست سه استاد دانشگاه دررفته است. در تمامی دانشگاه‌های دنیا تدریس شده است. تاب تمامی خم‌ها صفر می‌شود. به این خاطر انیشتین از تاب فضا - زمان صرف‌نظر کرد؛ چون فقط تابع انحنا درست جواب می‌دهد.

 

در ابتدا باید بدانیم که حساب دیفرانسیل چیست؟

حساب دیفرانسیل ابزار کاری نیوتن بود. یعنی او سعی می‌کرد که با توسعه حساب دیفرانسیل، معادلات مکانیک خود را فرمول‌بندی و تحلیل کند. نیوتن جزو کسانی بود که این شاخه از ریاضیات را توسعه داد. سایر توسعه‌دهندگان صرفاً به خود ریاضیات علاقه‌مند بودند. ولی آیا واقعاً این معادلات وجود دارند؛ یعنی فیزیکال هستند؟ جواب خیر است. اینها جنبه آماری و نموداری دارند و یک سری از اطلاعات من‌جمله موقعیت و مکان و زمان را در خود جای‌داده‌اند، حتی بعضی از خصوصیات فیزیکی و حتی برداری. حساب دیفرانسیل تغییرات این متغیرها نسبت به یکدیگر را برسی می‌کند و پادمشتق یا انتگرال مساحت زیر منحنی‌ها را اندازه‌گیری می‌کند. یعنی معادلات و توابع برای موجودات فیزیکال وضع و تعریف می‌شوند نه اینکه واقعاً خودشان وجود داشته باشند و بسته به شرایط محیطی تغییر هم می‌کنند.

 

 

اما هندسه دیفرانسیل چیست؟

به‌مرورزمان ریاضی‌دانان متوجه شدند که یک شی به طور مثال یک دایره یا حلقه، بیضی، کره و... عاری از دنیای خارج و داخل ساختار درونی خودشان تغییراتی به نسبت زاویه، طول و... دارند؛ لذا از مشتق و انتگرال‌گیری برای تجزیه‌وتحلیل آنها به‌صورت مجرد استفاده کردند. این اشیا سرعت، شتاب، چرخش، دوران، جرم و... ندارند. اینها با فیزیک هم هیچ سروکاری نداشتند و در دنیای ریاضی خود زندگی می‌کردند؛ ولی بعداً نقشه‌برداران، مهندسین و فیزیک‌دانان متوجه شدند که کار با آن راحت‌تر و کارآمدتر شده است و می‌توانند استفاده زیادی ببرند. ولی کار جایی خراب شد که نگرش فیزیکی از حساب دیفرانسیل خود را وارد آن کردند و خرابکاری ایجاد شد.

فاجعه زمانی روی داده است که دانشگاه‌ها با نبود یا کمبود مدرس و استاد هندسه دیفرانسیل مواجه شده و از مدرسین و اساتید سایر رشته‌ها استفاده کرده‌اند و آنها نیز به‌جای هندسه دیفرانسیل، حساب دیفرانسیل تدریس کرده‌اند البته به‌اضافه بسیاری از مطالب مربوط به فیزیک مکانیک. هندسه دیفرانسیل در اول یک شی فیزیکال را تعریف و مدل‌سازی می‌کند. سپس پارامترهای فیزیکی را وارد مدل و فرمول‌بندی خودش می‌کند. بعد از آن تحلیل با خود هندسه دیفرانسیل است و هیچ جایی برای حساب دیفرانسیل نیست. چون معادلات دیگر همخوانی ندارند. مشتقات و انتگرال‌ها تعاریف دیگری برای خود پیدا کرده‌اند. با نگرش و عادت حساب سابق عمل کنیم، خطا کرده‌ایم. درست مثل‌اینکه یک شرکت حمل‌ونقل با نبود یا کمبود راننده پایه یک مواجه شود و به‌جای آن راننده پای دو استخدام کرده باشد. وسایل نقلیه سنگین منهدم شده و رانندگان روانه بیمارستان یا قبرستان می‌شوند و صدالبته با کلی خسارت جانی و مالی و معنوی و...

 

 

هندسه دیفرانسیل همانند یک مانکن است که آناتومی استانداردی دارد و بعداً می‌توان هر لباسی را بر تنش کرد؛ اما پایه و اساس یک شی یا موجود تعریف و شناخته شده است.

 

 

میدان برداری

میدان برداری تابعی است که به هر نقطه از فضای اقلیدسی، برداری را نسبت می‌دهد. نمونه‌ای از آن در طبیعت، میدان گرانشی و مغناطیسی است. در فیزیک، میدان برداری برای مدل‌سازی راستای حرکت و سرعت ذرات شاره‌ها، بکار می‌رود. اگر میدان برداری نشان‌دهندۀ نیرو در فضا باشد، با انتگرال‌گیری خطی، مقدار کار (انرژی) به دست می‌آید. یکی از مهم‌ترین کاربردهای میدان برداری نشان‌دادن سرعت سیالات در فضا است. این دقیقاً به این معنی است که تانسور انرژی - تکانه و به دنبال آن متریک تولمن اشاره به برداری بودن میدان گرانشی دارد و این میدان برداری را تبدیل به یک تانسور با ماهیت انرژیک یا ضربه‌ای و تکانه‌ای می‌کند. یعنی همان تدلیس اول انیشتین که منجر به انحنای فضا - زمان می‌شود.

 

 

یعنی ما فقط ضرایب a و b را تعریف کردیم و فعلاً نیازی به درج توابع مثلثاتی sin(p) و cos(p) نیست همچنین دامنه p. اگر نیازی برای تعریف داشتیم:

 

 

یعنی ما برای تعریف یک میدان برداری نیاز به ارائه یک خم داریم. خم پیشفرض یک دایره است. پس تا الان ما سه کاربد عملی برای توابع پارامتری شده معرفی کردیم.

1- خود خم یا Position Vector
2- بردار خم از مبدا مرکز مختصات به طرف محیط خم و نسبت به زاویه همان Vector
3- میدان برداری یا Vector Field

 

آیا میادین برداری در حوزه هندسه دیفرانسیل هستند؟ جواب مثبت است؛ چون اولاً توابع پارامتری شده هستند و ثانیاً تابعی از چرخش یا دوران (تغییر مقدار زاویه) هستند ثانیاً یک شیء و موجود فیزیکال را تحلیل می‌کنند نه یک سری اطلاعات نموداری - آماری و منحنی وارد را.

 

 

عملگر گرادیان:

در حسابان بردارها گرادیان (به فرانسوی: Gradient) یک میدان نرده‌ای، میدانی برداری است که مؤلفه‌های آن نرخ تغییر میدان نخستین را در جهت‌های مختلف نشان می‌دهد. جهت خود میدان برداری گرادیان جهت بیشینهٔ تغییرات است. به تعبیر دیگر برداری که اندازه و جهت حداکثر نرخ فضائی تغییر یک کمیت عددی را نمایش می‌دهد، گرادیان آن کمیت عددی تعریف می‌کنیم.

https://fa.wikipedia.org

عبارت گرادیان در ریاضیات، معانی متفاوتی دارد. ساده‌ترین آن، مفهومی مشابه با شیب‌خط است. در واقع برای محاسبه شیب یک نمودار و یا تغییرات یک تابع می‌توان از مفهوم گرادیان استفاده کرد. گرادیان در حالت عمومی در تحلیل برداری، یک عملگر برداری است که با نماد ∇ نمایش داده می‌شود. این عملگر، روی یک تابع اسکالر عمل می‌کند و در نهایت، حاصل آن به فرم یک بردار در می‌آید. گرادیان و دیورژانس از مهم‌ترین مفاهیم ریاضیات پایه هستند.

https://blog.faradars.org/gradient-in-math

 

آیا چیزی فهمیدید؟ خیر. چرا؟

چون ریاضی و فیزیک خوانده‌های خام و بی‌تجربه در حوزه هندسه دیفرانسیل مداخله کرده‌اند. آن هم با نگرش جبری، حساب برداری و حساب دیفرانسیل، حتی نگرش نادرست و غلط فیزیکی. آنها با خود عادت‌های فکری سابق را آورده و خیلی هم خرابکاری کردند. آنها از گرادیان هیچ نمی‌دانند و صرفاً در حال نسخه‌نویسی و تجویز تجربی آن به دیگران هستند. درست مثل دکتر علفی‌ها یا عطارها. عملگر گرادیان واقعاً چیست؟ خوب نگاه کنید که چیست.

 

 

معادله دایره در هندسه، جبر و... طرح شده است و ما تابع شعاع آن را نوشتیم. چرا این یک تابع نیست؟ چون دامنه شعاع است و برد x,y البته نه به این معنی که چون یک دامنه، دو یا چند برد دارد تابع نیست، بلکه ابتدا می‌بایست برد اندازه‌گذاری شود و سپس دامنه مشخص و معلوم شود و به‌نوعی، تابع وارونه یا خراب شده است؛ یعنی جای برد و دامنه عوض شده است و از برد می‌توان به دامنه رسید؛ ولی از دامنه نمی‌توان به برد رسید. در این وضعیت، این تابع نمی‌تواند وارد هندسه دفرانسیل شود باید که پارامتری شود. عملگر گرادیان این کار را به‌راحتی برای ما انجامش می‌دهد. این عملگر یک معادله اسکالر جبری را تبدیل به یک بردار می‌کند. اما چگونه؟ از خود تابع یک‌بار به نسب x مشتق می‌گیرد و آن می‌شود ضریب یا مقدار  x و بار دوم از خود تابع به نسبت y مشتق می‌گیرد و آن می‌شود ضریب یا خود y.

 

 

اولاً عملگر گرادیان نیز یک حلقه سحرآمیز می‌شود و ثانیاً باعث تغییر مقدار شعاع دایره می‌شود؛ یعنی عددی مابین ۰.۷۰ الی ۲ ولی بعداً تحقیق خواهیم کرد که در علم فیزیک کدام‌یکش درست است ثالثاً آنچه که برای ما مهم شده است جهت و چگالی میدان برداری است.

اما چگونه؟ خوب ما در هندسه دیفرانسیل متوجه شدیم که توابع برداری بر خود خم یعنی همان محیط خم عمود می‌شوند. خوب اگر تابع یا معادله جبری، پارامتری شود و تابع خم و بردار به دست آیند، این دو بر یکدیگر عمود می‌شوند. برای پیداکردن میدان برداری یک معادله جبری اسکالر از عملگر گرادیان استفاده می‌کنیم؛ چون پارامتری کردن بعضی از معادلات جبری اسکالر کار بسیار سخت و دشواری است که گرادیان آن را برای ما انجام می‌دهد و طول بردار یا شعاع خم هم فعلاً زیاد مهم نیست.

 

پارامتری‌سازی معادله جبری بیضی به‌وسیله عملگر گرادیان برای میدان برداری هندسه دیفرانسیل:

 

 

از بعد ریاضیات محض و راست افراطی، بدون درنظرگرفتن پدیده‌های فیزیکی، عملگر گرادیان با کسی شوخی ندارد؛ چون معادله جبری و اسکالر بیضی را که به درد نیوتن و علاقه‌مندان به‌حساب دیفرانسیل و حساب برداری و... می‌خورد را تبدیل به یک میدان برداری کرده و آن را وارد حوزه خودش یعنی هندسه دیفرانسیل می‌کند. اگر دقت کنید این میدان برداری کاملاً بر خم یا منحنی بیضی عمود است. در اینجا هیچ‌چیزی که به فیزیک مربوط شود وجود ندارد. باور هندسه دیفرانسیل بر این است که اگر این خم بیضی بخواهد بزرگ و کوچک شود، جهت بردارها چگونه است؟ شاید ما می‌گوییم بردار، بلکه منظور هندسه دیفرانسیل چیزی به نام امتداد بوده باشد. پس مواظب و مراقب مشتق و انتگرال‌گیری خود باشید وگرنه بالگردها سقوط می‌کند.

 

در مباحث قبلی ما گرانش منظومه‌ای و کهکشانی را در مختصات کروی و قطبی این‌گونه مدل‌سازی کردیم:

 

 

 

دیورژانس چیست:

دیورژانس یک اپراتور برداری است که میزان «شار خروجی» یا «جذب از محیط» یک میدان برداری را در یک نقطه به‌وسیله یک اسکالر علامت‌دار، اندازه‌گیری می‌کند. به عبارت تخصصی‌تر، دیورژانس نشان‌دهنده چگالی حجمی شار خروجی از (ورودی به) یک حجم بسیار کوچک است. به‌عنوان‌مثال در گرم و سردشدن هوا، میدان برداری مرتبط، سرعت حرکت هوا در یک نقطه است: اگر هوا در یک ناحیه گرم شود، در همه جهت‌ها منبسط می‌شود، به‌طوری که جهت میدان سرعت به سمت بیرون آن ناحیه است؛ بنابراین دیورژانس میدان سرعت در آن ناحیه دارای مقداری مثبت بوده و بیانگر منبع بودن آن ناحیه است. اگر هوا سرد شود، دیورژانس منفی بوده و آن منطقه را یک جاذب یا حفره (سینک) می‌گویند. نام «دیورژانس» یا «واگرایی» به‌خوبی انتخاب شده است، زیرا دیورژانس یک میدان برداری در یک نقطه معیاری از این که آن میدان برداری از آن نقطه به چه میزان به بیرون پخش و واگرا می‌شود. برای مثال سرعت قطرات آب را یک میدان برداری در نظر بگیرید، در این صورت یک فواره در محلی که آب از آن بیرون می‌زند، واگرایی و پخش‌شدگی زیادی دارد، پس دیورژانس آن مقدار قابل‌توجهی دارد. درحالی‌که آبی که در یک کانال مستقیم حرکت می‌کند، هیچ واگرایی و پخش‌شدگی ندارد، بنابراین دیورژانس آن صفر است. دیورژانس یک بردار یا میدان برداری را تبدیل به یک اسکالر یا میدان یا معادله اسکالری می‌کند. یعنی برعکس عملگر گرادیان. آیا چیزی فهمیدید؟ ...

 

 

ما به ساده‌گویی در ریاضیات علاقه و باور داریم. دیورژانس یک تابع برداری یا میدان برداری در هندسه دیفرانسیل را به‌طرف حساب دیفرانسیل و... اخراج یا صادر می‌کند. یعنی کار گرادیان واردات و کار دیورژانس صادرات است. ولی در فیزیک کاربرد پیچیده‌تری دارد. یعنی پیدا کردن منحنی دوران کهکشان‌ها، تابع دیورژانس از یک بردار یا میدان برداری یک معادله جبری یا یک مقدار عددی استخراج می‌کند. پس دیورژانس یک حلقه یا خم سحرآمیز محسوب نمی‌شود. ولی گرادیان محسوب می‌شود:

 

 

 

که منجر به ابطال نظریه ماده تاریک گرانشی چسبناک می‌شود. چرا؟

چون کیهان‌شناسان هندسه دیفرانسیل بلد نیستند و آن را با حساب دیفرانسیل و حساب برداری و... اشتباه می‌گیرند. یعنی همان آلبالوگیلاس خودمان شده است.

 

 

کرل Curl:

در حساب برداری، کرل به انگلیسی Curl  یک عملگر برداری است که توصیفگر چرخش بی‌نهایت کوچک به انگلیسی infinitesimal یک میدان برداری در فضای اقلیدسی سه‌بعدی است. کرل یک نقطه از این میدان را به کمک یک بردار نمایش می‌دهند که طول و جهت آن، نمایانگر بزرگی و محور چرخش بیشینه میدان برداری در آن نقطه است. کرل یک میدان برداری در یک نقطه را به طور صوری به‌صورت چگالی دوران یا چرخش آن میدان برداری در نقطه موردنظر نیز تعریف می‌کنند .

تعبیر فیزیکی:

نام کرل به این دلیل انتخاب شده است که کرل یک میدان برداری در یک نقطه، معیاری است که آن میدان برداری چه مقدار چرخش حول آن نقطه دارد. برای درک مفهوم کرل فرض کنید که در کنار یک استخر ایستاده‌اید و پرّه‌ای کوچک (مثلاً یک چوب‌پنبه به همراه چند خلال دندان که در آن فرورفته‌اند) در استخر انداخته‌اید. اگر پره در نقطه‌ای قرار بگیرد که کرل در آن غیرصفر است، شروع به چرخیدن می‌کند. در این مثال سرعت آب میدان برداری موردنظر است و پره، کرل این میدان برداری را در هر نقطه اندازه می‌گیرد .

 

عملگر لاپلاس

در ریاضیات و فیزیک، عملگر لاپلاس (به انگلیسی: Laplace operator) یا لاپلاسین (به انگلیسی: Laplacian) که با ∇·∇، ۲∇ یا Δ نمایش داده می‌شود، یکی از مهم‌ترین عملگرهای بیضوی به شمار می‌رود. این عملگر در بسیاری از معادله‌های فیزیکی ظاهر می‌شود که از آن جمله می‌توان به معادلهٔ موج، معادلهٔ شرودینگر و معادلهٔ حرارت اشاره کرد. عملگر لاپلاس عملگر دیفرانسیلی مرتبه دوم است که بر فضای n-بعدی اقلیدسی عمل می‌کند و برابر است با دیورژانس گرادیان یک تابع؛

 

 

خیلی ساده گفته باشیم دو عمل گرادیان و دیورژانس را در یک مرحله پشت‌سرهم انجام می‌دهد. کارش واردات و صادرات در هندسه دیفرانسیل است. معادله لاپلاس، یک تابع اسکالر را به یک تابع اسکالر دیگر تبدیل می کند و کاربرد زیادی در مهندسی دارد.

 

رویه‌های منظم در هندسه دیفرانسیل:

یک مثال ساده از آن سطح یک کره است. تا اینجا ما موجودات تک‌بعدی (خط)، انحنا و تاب‌دار را مورد برسی و تحلیل قرار دادیم. یک خم موجود تک‌بعدی است که در یک محیط دوبعدی انحنا دارد و اگر به محیط سه‌بعدی تعمیم یافت، تاب هم دارد. ولی رویه یک موجود دوبعدی (صفحه) است که در یک فضای سه‌بعدی انحنا پیدا می‌کند. گویا کار ما کمی سخت و دشوارتر شده است. باور انیشتین هم این بود که دنیای سه‌بعدی ما در یک چهاربعدی فضا - زمان به‌صورت رویه انحنا یافته است. یعنی محیط اطراف ما در یک چهاربعدی به‌صورت رویه سه بعدی شده است. یعنی یک کره سه‌بعدی که داخل یک مکعب چهاربعدی دچار انحنا و تاب شده است. حرف‌های عجیبی است؛ ولی امکان فرمول‌بندی آن وجود دارد. شاید قابلیت ترسیم و تجسم نداشته باشند؛ ولی فرمولیزه کردن ممکن و مقدور شده است حتی ابعاد خیلی بیشتر از آن. ساختار و خواص اپتیکی نور چنان است که ما دنیا را سه‌بعدی می‌بینیم و فرض می‌کنیم. موجود چهاربعدی برای ما مفهومی ندارد؛ چون با ساختار و خاصیت اپتیکی نور جور در نمی‌آید و در نتیجه به چشم ما نیامده و توسط مغز نیز تحلیل نمی‌شود. تنها راه دیدن و درک و تحلیل موجودات بالای سه بعد، فقط ریاضیات و فرمول‌بندی است. همانند موش کور می‌بایست طول زنی و حفاری کنیم.

گام اول پارامتری‌سازی است. معادلات و فرمول‌های جبری حق ورود ندارند. ابتدا از عملگر گرادیان برای میدان برداری کروی استفاده می‌کنیم.

 

 

خیلی خوب و سریع و کارآمد جواب داد و موفق هم شدیم.

 

 

باید اعتراف کنیم که شکست خوردیم؛ چون توابع ما دومتغیره شدند و هر دو نیز زاویه هستند، شاید در مختصات کروی جواب دهند؛ ولی در مختصات دکارتی هرگز. چون چیزی در مایه کلف کاموا و نخ می‌شود.

 

 

معادله جبری کره را سه بار به نسبت x,y,z حل می‌کنیم و شش جواب به دست می‌آید. با این شش جواب شش تابع درست می‌کنیم. هر تابع برای یک نیم کره است. توابع را رسم سه‌بعدی کرده و به سه کره کامل می‌رسیم. ولی باز هم بی‌فایده است و این شکست دوم ماست. چرا؟ چون می‌بایست که مقادیر مساوی برای x,y تعیین کرد و همان مقدار مساوی برای z حاصل می‌شود.

ما در نهایت مجبوریم که از یک شیء یا موجود یا ابزار کارآمد کمک گرفته و استفاده کنیم. از چه چیزی؟ ما در حال برسی چه چیزی هستیم؟ خوب سطح کره. سطح کره چیست؟ یک‌رویه و صفحه خم شده و انحنا یافته است. خوب بهترین کمکی یک سطح یا صفحه دوبعدی صاف و مسطح است. چرا؟ چون صفحه یک بعد پایین‌تر از کره سه‌بعدی است. می‌توان از آن به‌عنوان محک یا سنجه و یکه استفاده کرد. قبلاً از بردار یکه تک‌بعدی استفاده می‌کردیم؛ ولی الان از یک صفحه تخت یکه دوبعدی به نام u,v. این دقیقاً به چه معنی است؟ ما در اول می‌بایست یک سطح و صفحه تخت بدون انحنا یا خم و... را در نظر بگیریم، سپس رویه‌ها را با آن مقایسه کنیم. ولی قبلاً کارمان خیلی راحت‌تر بود؛ چون شیء یا موجود راست و مستقیم برایمان هیچ معنی و مفهومی نداشت. تنها چیز مفهوم دار شده مشتق یا نسبت تغییرات بود. گویا باید به عادت‌های فکری سابق مراجعت کنیم و این خبر خوبی برای دوستداران و طرف‌داران حساب دیفرانسیل و هندسه تحلیلی است. البته خبر خیلی بدی برای انیشتین است که باید مجبور به پذیرش و قبول سطح دوبعدی مسطح و صاف شود و مدل‌سازی اولیه‌اش را نسبت به آن انجام دهد. شاید بعداً به این فکر افتاده باشد که از یک رویه غیرمسطح و ناصاف یعنی انحنادار استفاده کند.

 

 

یعنی ما یک زوج تابع پیدا کردیم که تمامی نقاط سطحی کره را نسبت به یک صفحه تخت و صاف u,v ارائه می‌کند. این صفحه، کره را از وسط به دو نیم کره شمالی z+ و نیم کره جنوبی z- جدا می‌کند و این بار از رسم‌فنی استفاده می‌کنیم. نما از بالا در امتداد محور z :

 

 

صفحه u,v در روی دو محور x,y منطبق شده است. در نتیجه ما به u,v مقداردهی می‌کنیم و نه به x,y. مکان u,v داخل دایره R یعنی محیط کره بوده باشد، ما برای z دو مقدار حقیقی مثبت و منفی داریم؛ ولی خارج از آن، مقادیر موهومی می‌شوند. در نتیجه ما می‌توانیم به u,v مقادیر مختلفی داده و مقدار z را به دست آوریم. u,v روی دایره و محیط کره بوده باشد مقدار z صفر است.

 

 

مقادیر u,v اگر ۰.۰ بوده باشند؛ یعنی در مرکز مختصات x,y دو مقدار ۱+ و ۱- را برای z داریم. یعنی ما سطح کره را تبدیل به مجموعه‌ای از نقاط کردیم که تابعی از مقادیر u,v هستند. پس بعدازاین ما با ماتریس‌ها سروکار پیدا می‌کنیم.

 

 

اینک به‌جای z از t استفاده می‌کنیم؛ یعنی در یک مختصات سه‌بعدی x,y,z یک رویه کروی با متغیرهای u,v,t داریم. یعنی دامنه تابع ما u,v و برد تابع ما t می‌شود.

 

 

قسمت سوم

 

محمدرضا طباطبايی  ۱۴۰۳/۰۴/۰۱

http://www.ki2100.com