حرکت
زاویه‌ای و مداری الکترون
همانطور که می‌دانیم انرژی موج الکترومغناطیس از رابطه معروف پلانک
یعنی E=hv به دست می‌آید. یعنی انرژی موج برابر است با بَسامد موج
ضربدر ثابت پلانک که کمترین مقدار (کوانتای) انرژی است و مربوط به یک
سیکل یا تواتر موج است. به مطالب زیر دقت کنید:
خویشاوندی دایره و موج سینوسی
توضیحات: در سمت راست تصویر فوق، دایره مثلثاتی را به ۱۲ قسمت مساوی و
هر کدام ۳۰ درجه یا π/۶ تقسیم کرده‌ایم. در سمت چپ تصویر فوق، دستگاه
مختصاتی رسم شده است که محور افقی آن به طول 2πr یعنی محیط دایره و
محور عمودی آن، محور سینوس‌ها است. طول افقی به ۱۲ قسمت مساوی تقسیم
شده که هر قسمت نشانگر طول کمان ۳۰ درجه است. محور عمودی با خطوط قرمز
از مبدأ سینوس‌های ۳۰ و ۳۰- ، ۶۰ و ۶۰- ، ۹۰ و ۹۰- مدرج شده و منحنی
موج سینوسی نقطه‌یابی و رسم شده است. این رابطه مابین دایره و موج
سینوسی به‌دفعات در فیزیک مشاهده شده است و در ریاضیات نیز توجیه‌پذیر
است به طور مثال با دوران (سرعت زاویه‌ای ثابت) رتور در میدان مغناطیسی
داخل یک دینام، جریانی با ولتاژ متناوب و به‌صورت سینوسی پدیدار و
تولید می‌شود. همانطور که می‌دانیم در مکانیک کوانتومی انرژی فوتون
نیز از رابطه معروف پلانک به دست می‌آید:
E=hν
در
واقع انرژی هر تواتر (سیکل) موج الکترومغناطیس برابر h می‌باشد. به طور
خلاصه انرژی یک سیکل طیف قرمز برابر انرژی یک سیکل طیف بنفش است و این
مقدار مستقل از انرژی کلی موج در واحد زمان تعریف شده است و مقدار آن
به ثابت پلانک معروف است. اینک اگر این انرژی (یک کوانتوم انرژی) را بر
محیط یک دایره به شعاع واحد یک (مدار فرضی الکترون) تقسیم کنیم خواهیم
داشت:
ћ=h/2π
که
این مقدار جدید ћ در مکانیک کوانتومی کاربرد دارد و نام آن اچ بار یا
ثابت کاهیده پلانک و معنی آن توزیع انرژی یک سیکل موج بر روی مدار
الکترون پیرامون هسته است؛ زیرا الکترون برانگیخته با یک دور کامل چرخش
به‌دور هسته یک سیکل موج الکترومغناطیس تولید و منتشر می‌کند (نگرش
کلاسیک). اینک ما سرعت خطی الکترون برانگیخته مربوط به مدار طیف بنفش
مرئی با بَسامد ۱۴^۱۰*۸ و همچنین شعاع مدار استاندارد آن را محاسبه
می‌کنیم: طبق تعریف موج الکترومغناطیس زمانی تولید و منتشر می‌شود که
الکترون مدار برانگیخته نوسان کند؛ یعنی مابین دو تراز تغییر مکان دهد.
پس فعلاً می‌توان چنین فرض کنیم که انرژی کل موج مربوط به انرژی جنبشی
الکترون روی مدار است یعنی:
که در این محاسبات Ep انرژی فوتون
یا موج الکترومغناطیس، h ثابت پلانک، f بَسامد موج، Ee انرژی جنبشی
الکترون، m۰ جرم سکون الکترون، v سرعت خطی الکترون روی مدار، D
محیط‌مدار استاندارد الکترون و r شعاع آن مدار است . ولی لازم است به
سه نکته اشاره کرد:
۱- با افزایش عدد اتمی
(تعداد پروتون‌های هسته) بر تعداد الکترون‌هایی پیرامون هسته افزوده
شده و این الکترون‌ها نسبت به هم نیرو وارد کرده و تغییراتی در شعاع
مدارها به وجود می‌آید.
۲- با یونیزه‌شدن اتم اگر
اتم الکترون از دست بدهد شعاع مدارها کم شده ولی اگر اتم، الکترون
دریافت کند شعاع مدارها افزایش می‌یابد. پس در اتم‌ها شعاع مدارها زیاد
اهمیت ندارد؛ بلکه آنچه مهم است سرعت زاویه‌ای چرخش الکترون‌ها به‌دور
هسته است که نوسان آنها می‌تواند امواج الکترومغناطیسی تولید و منتشر
کند.
۳- محاسبات فوق یک مثال ساده کلاسیک
بود و ممکن است با واقعیت خیلی فرق داشته باشد. چون الکترون تغییرات
انرژی جنبشی خود را به‌صورت تابش از دست می‌دهد.
حرکت
مداری الکترون:
حرکت
مداری الکترون را می‌توانیم همان سرعت زاویه‌ای الکترون به‌دور هسته
تعریف کنیم که درست معادل بَسامد (تواتر یا بسامد) موج الکترومغناطیس
نشری از مدار یا تراز (لایه و یا زیر لایه اتم) است. به طور مثال حرکت
مداری الکترون یا سرعت زاویه‌ای آن مربوط به تراز طیف بنفش مرئی با
بَسامد ۱۴^۱۰*۸ درست معادل ۱۴^۱۰*۸ رادیان بر ثانیه است و این چرخش
مداری در دید ما هم می‌تواند ساعت‌گرد باشد و هم پا ساعت‌گرد و
می‌تواند به سطح و یا حجم یک کره گسترش یابد و شکل هندسی کروی به اتم
منفرد بدهد. اینک سرعت خطی الکترون روی مدار یا تراز انرژی طیف
ماورای‌بنفش غیر مرئی با بَسامد ۱۷^۱۰ هرتز را محاسبه می‌کنیم:
اینک این
سؤال مطرح می‌شود که آیا ممکن است سرعت الکترون در مدار بیشینه یعنی
به‌اندازه سرعت نور شود؟
چنین حالتی
را می‌توان در زمانی تصور کرد که مثلاً الکترون مدار هیدروژن به روی
هسته پروتون سقوط کرده و در روی مداری فوق‌العاده نزدیک به پروتون
بچرخد و ذره سوم دیگری به نام نوترون را به وجود آورند. در این سقوط
الکترون به‌طرف هسته پروتون، انرژی زیادی به‌صورت امواج و تابش‌های
الکترومغناطیس منتشر می‌شود. نوترون از لحاظ بار الکتریکی همانند اتم
هیدروژن خنثی به نظر می‌رسد و این ممکن نخواهد بود مگر اینکه الکترون
حول پروتون چرخش داشته باشد که اگر این‌گونه نباشد نتیجه ادغام این دو
ذره می‌بایست ذره‌ای با دو قطب الکتریکی غیر هم‌نام همانند شکل زیر
تشکیل شود که چنین نیست.
اینک
حرکت مداری یا سرعت زاویه‌ای الکترون فرضی با سرعت نزدیک به‌سرعت نور و
همچنین شعاع این مدار فرضی را محاسبه می‌کنیم.
که
این بَسامد در محدوده بسامد امواج الکترومغناطیس طولی یا همان امواج
گرانشی است.
که
می‌توان قطر این نوترون فرضی را نیز به دست آورد که برای اولین‌بار
به‌صورت تئوری محاسبه می‌شود. اما نکته مهم اینکه در زمان تصادم
نوترون‌ها با یکدیگر حتی با ذرات و موانع دیگر این الکترون در مدار
فرضی به نوسان درآمده و امواج گرانشی منتشر می‌شود که توان آنها خیلی
کم بوده و فعلاً قابل‌شناسایی نیستند؛ ولی اگر اجرام نوترونی سنگین مثل
ستارگان نوترونی و یا سیاه‌چاله‌ها با هم تصادم داشته باشند یا اجرام
سنگین مثل سیارات و ستارگان در کام آنها فرورود امواج گرانشی پرتوانی
توسط آنها تولید و منتشر خواهد شد که گذر آنها از منظومه شمسی می‌تواند
باعث تغییر فاصله مابین زمین و ماه شده و حتی تغییراتی در حجم کروی ماه
و زمین ایجاد کند. مبحث
محاسبه متریک گرانشی سیاه‌چاله (جرم نوترونی)
به بیان ساده می‌توان چنین تصور کرد که
نوترون به‌نوعی یک اتم هیدروژن خنثی با شعاع اتمی بسیار کمتر است. به
این دلیل مهم نوترون در حال آزاد ذره‌ای ناپایدار است و عمر متوسط آن
۹۱۸ ثانیه است و به پروتون، الکترون و پادنوترینو واپاشیده می‌شود. به
این واپاشی، واپاشی بتا منفی (β −) می‌گویند.
اندازه حرکت زاویه‌ای مداری الکترون:
اصل
موضوع بوهر
-
الکترون‌ها مقید هستند در مدارهایی حرکت کنند که در آنها اندازه
حرکت زاویه‌ای الکترون‌ها مضرب درستی از ħ=frach2π باشد.
به‌عبارت‌دیگر، در مورد مدارهای دایره‌ای‌شکل با شعاع r ، سرعت
الکترون (v) باید از رابطه mvr=nħ تبعیت کند. لازم به ذکر است که
الکترون‌ها در این مدارها با وجود سرعتی که دارند، تابش نمی‌کنند؛
بنابراین مسیرهای حرکت الکترون‌ها را در این مدل، مدارهای ایستا
می‌گویند.
-
الکترون‌ها می‌توانند گذرهای گسسته‌ای از یک مدار مجاز به مدار
مجاز دیگر انجام دهند. تغییر انرژی این دو تراز به‌صورت تابشی که
بَسامد آن وابسته به تفاضل انرژی این دو تراز است، ظاهر می‌شود.
اگر اتم، تابش جذب کند، باز الکترون‌ها بر اثر این تابش به یک تراز
انرژی بالاتر می‌روند.
-
مشکل
اول این نظریه رابطه mvr=nħ است. برای اینکه mvr مؤلفه اندازه حرکت
(تکانه) زاویه‌ای و واحد آن Kg m^2/s ولی nħ مؤلفه انرژی و واحد آن J/s
است که شاید این دو مؤلفه با هم متناسب باشند؛ ولی با این شرایط هم ارز
نخواهند بود، زیرا همواره رابطه E=Pv/2 مابین انرژی جنبشی ذره، تکانه و
سرعت ذره برقرار است که از رابطه E=1/2mv^2 حاصل می‌شود.
و از
طرفی اگر سیستم متشکل از زمین و خورشید را در نظر بگیریم، نیروی جانب
مرکز (گریزازمرکز) دوران زمین به‌دور خورشید، معادل نیروی گرانش وارد
بر زمین از طرف خورشید است. با فرض اینکه این سیستم منزوی است (از سایر
سیارات صرف‌نظر می‌کنیم) لذا اندازه حرکت زاویه‌ای زمین L به‌دور
خورشید نیز ثابت است؛ بنابراین باتوجه‌به رابطه L=mvr با کاهش فاصله،
سرعت افزایش می‌یابد (L اندازه حرکت زاویه‌ای زمین، m جرم زمین، r
فاصله مرکز زمین تا مرکز خورشید و v سرعت حرکت یا همان سرعت خطی سیاره
زمین است). در واقع زمین به‌دور مرکز خورشید نمی‌گردد، بلکه به‌دور
مرکز جرم سیستم (زمین و خورشید) می‌گردد. با تغییر موقعیت زمین نسبت به
خورشید، مرکز جرم [مشترک] نیز تغییر می‌کند و چنین به نظر می‌رسد که
مدار حرکت بیضی است و خورشید نیز در یکی از کانون‌های آن قرار دارد. در
واقع اندازه حرکت زاویه‌ای در مکانیک سیارات کاربرد دارد و ما
نمی‌توانیم به‌جای خورشید، هسته اتم و به‌جای نیروی گرانش، نیروی
کولونی و به‌جای زمین، الکترون و نیروی جانب مرکز آن را در نظر بگیریم
برای اینکه سرعت زاویه‌ای (اسپین) هسته خیلی زیاد است و خطوط میدان
الکتریکی دوران یافته و الکترون‌ها در این میادین دایره‌ای‌شکل و بسته
حرکت دارند؛ یعنی شکل زیر:
ولی
همانطور که توضیح داده شد با یک دور چرخش کامل الکترون برانگیخته
به‌دور هسته، یک کوانتای ثابت پلاک انرژی تولید و منتشر می‌شود. پس
می‌توان به‌راحتی نتیجه گرفت که:
E=hω
یعنی
انرژی موج الکترومغناطیس (E) برابر است با ثابت پلانک (h) ضربدر سرعت
زاویه‌ای مداری الکترون برانگیخته (ω). یعنی ما در فیزیک هیچ انرژی
کمتر از انرژی حاصل از چرخش یک الکترون برانگیخته به‌دور هسته نداریم
که مفهوم واقعی و کلی فیزیک کوانتومی را می‌رساند. این رابطه نشان
می‌دهد که انرژی کلی موج یا فوتون به‌سرعت زاویه‌ای مداری الکترون
برانگیخته وابسته است و نه به پارامترهای دیگر. باتوجه‌به اینکه واحد ω
رادیان بر ثانیه یا ۲π بر ثانیه است، ثابت پلانک را می‌بایست تقسیم بر
۲π کنیم تا به همان مقدار قبلی رابطه برسیم یعنی ћ=h/2π پس معادله کلی
این خواهد شد:
E=h/2π*ω
E=ћω
همانطور که مشخص است الکترون برانگیخته در روی مدار مربوط به طیف بنفش
دو چرخش کامل ولی الکترون برانگیخته روی مدار قرمز یک چرخش کامل در
واحد زمان انجام داده است؛ ولی همانطور که می‌دانیم انرژی طیف بنفش
دوبرابر طیف قرمز است برای اینکه در واحد زمان مشخص، تراز یا مدار بنفش
دو سیکل ولی مدار قرمز یک سیکل تولید و منتشر نموده است؛ ولی هر دو طیف
مسافت‌های مساوی را در واحد زمان طی کرده‌اند؛ یعنی همان سرعت ثابت
نور. البته ذکر این نکته ضروری است که طول‌موج امواج الکترومغناطیس
بیشتر از قطر اتم‌ها است و شکل فوق صرفاً جهت روشن‌شدن موضوع ارائه شده
است.
همانطور كه در مبحث
اصل تبادل انرژي كوانتومي توسط لايه‌ها و زير لايه‌ها در
اتم‌ها گفته شد :
تعریف: موج الکترومغناطیس تولید شده توسط یک‌لایه یا یک زیر لایه از یک
اتم (تراز انرژی)، فقط قابل‌جذب توسط همان لایه یا زیر لایه از اتم
دیگر است. به بیان دیگر موج الکترومغناطیس تولید شده توسط یک‌لایه یا
یک زیر لایه از یک اتم، فقط در همان لایه یا زیر لایه از اتم دیگر القا
یا شارژ می‌شود.
محمدرضا طباطبايي 13/12/87
http://ki2100.com
