Home   |  تماس با ما و ارسال مطالب |  پروژه‌ها  | نرم‌افزارهاي مورد نياز |

 

 

04-05-2022

 

تحلیل معادله شرودینگر در مختصات دو بعدی دکارتی و موهومی

 

 

همانطور كه می دانیم معادله شرودینگر معادله‌ای است که سعی می کند چگونگی تغییر حالت کوانتومی یک سامانه فیزیکی، نسبت به زمان را توصیف کند . معادلات مستقل از زمانش سعی می کند که احتمال حضور ذرات در مکان های مشخص را تعیین کند . و چنین به نظر می رسد که فعلا یکی از معادلات بسیار مهم در مکانیک کوانتوم است. اینک ما سعی می کنیم که این معادله دیفرانسیل (مشتق مرتبه دوم) را برای یک ذره در یک مختصات دو بعدی دکارتی حل کنیم. ابعاد مد نظر ما (جعبه) مستطیل L در L بسته و باز میباشد. برای حل ، دو شرایط مرزی در نظر گرفته شده است. یعنی  conds1 و conds2لاپلاسیندر مختصات دکارتی نوشته شده است. تابع موج  f(x,y میباشد.

 

 

در شرایط مرزی  conds1 چنین به نظر می رسد که معادله خوب عمل کرده است. زیرا مستطیل (جعبه) از چهار طرف بسته و محدود شده است (هم محور x و هم y). و ذره راهی برای فرار و گریز ندارد. و معادله در بازه صفر تا L برای y حل شده است. مقدار n از عدد یک شروع شده و مقادیر تابعیت برای x و y سینوسی کسینوسی ( مثلثاتی ) است.

ولی در شرایط مرزی  conds2 چنین به نظر می رسد که معادله خوب عمل نکرده است. زیرا مستطیل (جعبه) فقط از دو طرف بسته و محدود شده است . ولی دو طرف باز یا نامحدود دارد (از طرف محور x باز و نامحدود است). یعنی ذره میتواند از دو طرف بگریزد و فرار کند. ولی معادله در بازه های بالا و پایین صفر برای L جواب دارد! (جواب برای ذره ای که وجود ندارد یا خارج از محدوده است) مقدار n از عدد صفر شروع شده و مقادیر تابعیت برای y  مثلثاتی  ولی برای x نمایی است. ولی معادله برای مقدار صفر برای y خوب عمل کرده است. اینک این سوال مطرح میشود که راهکار برای حل این مشکل چیست؟

به باور ما معادله میبایست به مختصات موهومی دو بعدی منتقل شود. این کار باضرب i به محور y انجام میشود.

 

 

مشکل حل شده است. معادله در شرایط مرزی  conds2 در بازه های بالا و پایین صفر برای L جواب ندارد و با قطعیت صفر است! چون اولا ذره گریخته و وجود ندارد و یا اینکه خارج از محدوده (شرایط مرزی) است. و معادله در شرایط مرزی  conds1 در بازه صفر تا L برای y حل شده است. جواب به صورت یک عدد مختلط خواهد بود و 1/2 و i/2  اشاره به همان انرژی های جنبشی و نسبیتی در مباحث قبلی دارد. به بیان ساده معادلات کوانتومی برای شرایط مرزی بسته و محدود شده کارایی دارند و در شرایط مرزی باز و نامحدود هیچ جوابی ندارند. به طور مثال ذره نوترون درون یک هسته یا یک ستاره نوترونی و سیاه چاله تعریف دارد و خارج از آن شرایط مرزی، عمر متوسط آن ۹۱۸ ثانیه است و به پروتون، الکترون و پادنوترینو واپاشیده می‌شود. و بهتر است معادلات کوانتومی در مختصات موهومی توسعه پیدا کند تا به قطعیت برسد. در حقیقت شرودینگر همیشه گربه را در داخل یک جعبه در بسته فرض می کرد ، ولی ما آن گربه را در یک تونل دو دره باز و نامحدود و حتی بیرون آن تصور کردیم.

ترسیمات :

 

 

تحلیل های اولیه و ابتدایی میتواند اینگونه باشد که چهار 1- میدان واحد کوانتومی، 2- میدان الکتریکی، 3- میدان موهومی مغناطیسی و 4- میدان گرانشی توسط یک شبکه به هم پیوسته و ماتریس فوق را تشکیل داده اند.

 

ترسیم در مختصات موهومی سه بعدی:

اگر مقادیر x و y را برابر فرض کنیم، در مختصات موهومی دو بعدی:

 

مختصات دو بعدی دکارتی:

 

محمدرضا طباطبايي    13/2/1401

http://www.ki2100.com